ぶちノート

数学とか物理とか好き。ゆっくりやっています。

オイラーの等式

オイラーの等式とは

オイラーの公式

   e ^{\theta i}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}

が成り立つ。特に  x=\pi のとき、オイラーの等式

   e ^{\pi i }=-1

が成り立つ。

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オイラーの公式の数学的な証明

指数関数  e ^{ix} をべき級数展開すると

   \displaystyle e ^{ix}=1+ix+\frac{(ix) ^2}{2!}+\frac{(ix) ^3}{3!}+\frac{(ix) ^4}{4!}+\frac{(ix) ^5}{5!}+\frac{(ix) ^6}{6!}+\frac{(ix) ^7}{7!}+\cdots

ここで  i ^2=-1 より

   \displaystyle e ^{ix}=1+ix-\frac{x ^2}{2!}-i\frac{x ^3}{3!}+\frac{x ^4}{4!}+i\frac{x ^5}{5!}-\frac{x ^6}{6!}-i\frac{x ^7}{7!}+\cdots

さらに、実部と虚部に分けると

   \displaystyle e ^{ix}=\left( 1-\frac{x ^2}{2!}+\frac{x ^4}{4!}-\frac{x ^6}{6!}+\cdots \right)+i\left( \frac{x ^3}{3!}-\frac{x ^5}{5!}+\frac{x ^7}{7!}-\cdots \right)

実部が  \cos{x} のべき級数展開、虚部が  \sin{x} のべき級数展開になっていることより

   \displaystyle e ^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}

 \pi とは

角(弧度法)の基本単位。
円の直径に対する円周の比。

 e とは

変化率の基本単位。
微分に対して不変となる関数(  e ^x )。

 1 とは

平行移動(実軸方向)の基本単位。

 i とは

平行移動(虚軸方向)の基本単位。
 \displaystyle \frac{1}{4} 回転。  1 と合わせて任意の回転。

 -1 とは

 \displaystyle \frac{1}{2} 回転。
反転

 e ^{i\pi} とは

 (0,\pi) を、点  (-1,0) に写す変換

 \cos{x}+i\sin{x} とは

原点を中心とした  x \ [rad] の回転

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