1. 実数と伸縮

実数の指数関数は $f(x+y)=f(x)f(y)$ の関係を満たしているのが特徴だ。
言葉でいうと「足してから入力しても、入力してから掛けても同じ」というような感じだ。
また、図形的には、実数の指数関数は数直線を「伸縮させる」。
たとえば、 $2$ を入力したら数直線を伸ばし、 $0$ を入力したら何もせず、 $-3$ を入力したら縮める。
つまりポイントは以下になる。

足して入力 $=$ 入力して掛ける
数直線を伸縮させる

2. 複素数と伸縮

入力を実数から複素数へ拡張してみよう。
ここでも $f(x+y)=f(x)f(y)$ の関係を満たすようにする。
複素数は $x+iy$ と表せるので、 $f(x+iy)=f(x)f(iy)$ となる。
でも複素数とはいえ、 $x$ や $y$ は実数だ。
そのため「入力して掛ける」の $f(x)$ のところは、実数の指数関数になっている。
ということは、やはり数直線を「伸縮させる」。
ただし実数のときと違って、複素数のときは複素平面が相手だ。
そこで、複素平面を「伸縮させる」ことにする。

では「入力して掛ける」の $f(iy)$ のところはどうだろう。
これは複素数へ拡張したために、出てきたものだ。

3. 複素数と平行移動

ところで指数関数は複素平面を「伸縮させる」と書いたけれど、入力する複素数は何をするのだろう。
入力する複素数が実数のときは複素平面を実軸方向に「平行移動させ」、純虚数のときは虚軸方向に「平行移動させる」。
そして一般の複素数のときは任意の方向に「平行移動させる」。

一方、同じ複素数による「平行移動」でも、「伸縮」と「回転」に分解することもできる。
たとえば $\sqrt{3}+1i$ は、実軸へ $+\sqrt{3}$ 、虚軸へ $+1$ の「平行移動」と考えられるし、 $2$ の「伸縮」と $\theta=30 ^\circ$ の「回転」と考えることもできる。
つまり同じ複素数は「平行移動」とも「伸縮＆回転」とも考えられるのだ。

4. 複素数と回転

以上のことをふまえて、再度 $f(x)f(iy)$ を見てみる。
さっき述べたように $f(x)$ は複素平面を「伸縮させる」のだった。
では $f(iy)$ は複素平面をどうするのだろう。
そう、複素平面を「回転させる」のだ。
このとき「伸縮」はもうしない。
つまり、点 $(1,0)$ を単位円上に動かす純粋な回転だ。まとめると以下になる。

足して入力 $=$ 入力して掛ける
$f(x)$ は複素平面を「伸縮」させ、 $f(iy)$ は「回転」させる。

$f(x+iy)=f(x)f(iy)$ を言葉でいうと「平行移動してから入力しても、伸縮させて回転させても同じ」となる。

5. まとめ

・・・と、ここまでたどり着いたものはいいものの、これはどういうことなのだろう。
それは $e ^{x+iy}$ を考えてみると分かる。
指数関数なので $e ^{x+iy}=e ^x e^{iy}$ となり、 $e ^x$ は計算できて「伸縮」を表す。
でも $e ^{iy}$ はどうがんばっても意味が分からない。
ここでさっき考えたことが役に立つ。
$e ^{iy}$ は「回転」を表すのだった。