ぶちノート

数学とか物理とか好き。ゆっくりやっています。

群について

定義

 G :単位元、逆元があって、結合法則が成り立ち、演算について閉じている集合。

対称群  S_n :異なる  n 個のものの並べ方。大きさ  |S_n|=n!

部分群  H H \subseteq G

正規部分群  N N \triangleleft G

置換群  P :置換群の集合が対称群  S_n

交代群  A_n :偶置換の群。大きさ  |A_n|=n!/2

巡回群  C_n :ただ  1 つの元から作られる群。

 2 面体群  D_n :正  n 角形の合同変換の群。大きさ  |D_n|=2n

 n 面体群  P(n) :正  n 面体の合同変換の群。 n=4,6,8,12,20 のみ存在する。

多面体群と対称群

多面体  D_3  P(4)  P(6)  P(8)  P(12)  P(20)
同型  S_3  A_4  S_4  S_4  A_5  A_5
大きさ  6  12  24  24  60  60

多面体と対称群

 3 角形 \iff3 次の対称群

 4 面体 \iff 4 次の交代群

 6 面体 \iff 4 次の対称群
 8 面体 \iff 4 次の対称群

 12 面体 \iff 5 次の交代群
 20 面体 \iff 5 次の交代群