ぶちノート

数学とか物理とか好き。ゆっくりやっています。

ポアソン括弧

ニュートン力学から、ラグランジュ力学になって、ハミルトン力学になる。

ラグランジュ力学から、ハミルトン力学になるときの「ルジャンドル変換」については、こちらのサイト forXiv に書かれていた。

特にこの図 inverse graph が分かりやすい。

しかし「ポアソン括弧」が分からなかった。Wikipedia には以下のように定義すると書かれている。

 \displaystyle \{ f,g \} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}

少し調べると、どうやらこちらのサイト StackExchange に書かれていた。

the dot product in phase space of the 'ordinary' gradient of  f and the symplectic gradient of  g.

ということらしい。式で表すとたぶん以下のようになる。

 \{f,g\} = \nabla f \cdot \nabla^{\perp} g

このことを式で表そうとしたときに、Wikipedia で Skew gradient なるものを見つけた。

ここで  \nabla^{\perp} という記号が使われていて便利そうだったので使ってみた。

たとえば  \nabla^{\perp} g は、いたるところで、 \nabla g と直交するベクトル場のことだ。

f:id:awa-tika:20180517004418p:plain:w300 f:id:awa-tika:20180517004432p:plain:w300 f:id:awa-tika:20180517004902p:plain:w300 f:id:awa-tika:20180517005613p:plain:w300 f:id:awa-tika:20180517010136g:plain:w300