2018-05-02

群について

定義

群 $G$ ：単位元、逆元があって、結合法則が成り立ち、演算について閉じている集合。

対称群 $S_n$ ：異なる $n$ 個のものの並べ方。大きさ $|S_n|=n!$ 。

部分群 $H$ ： $H \subseteq G$

正規部分群 $N$ ： $N \triangleleft G$

置換群 $P$ ：置換群の集合が対称群 $S_n$ ？

交代群 $A_n$ ：偶置換の群。大きさ $|A_n|=n!/2$

巡回群 $C_n$ ：ただ $1$ つの元から作られる群。

$2$ 面体群 $D_n$ ：正 $n$ 角形の合同変換の群。大きさ $|D_n|=2n$ 。

正 $n$ 面体群 $P(n)$ ：正 $n$ 面体の合同変換の群。 $n=4,6,8,12,20$ のみ存在する。

多面体群と対称群

多面体	$D_3$	$P(4)$	$P(6)$	$P(8)$	$P(12)$	$P(20)$
同型	$S_3$	$A_4$	$S_4$	$S_4$	$A_5$	$A_5$
大きさ	$6$	$12$	$24$	$24$	$60$	$60$

多面体と対称群

$3$ 角形 $\iff$ $3$ 次の対称群

$4$ 面体 $\iff$ $4$ 次の交代群

$6$ 面体 $\iff$ $4$ 次の対称群
$8$ 面体 $\iff$ $4$ 次の対称群

$12$ 面体 $\iff$ $5$ 次の交代群
$20$ 面体 $\iff$ $5$ 次の交代群

2018-04-30

ガロア理論がむずかしい

数学ガールのガロア理論をとりあえず読み切った。
でも正直、半分も分かった気がしない。
パラパラと眺めなおしてみたものの、やっぱり取っ掛かりがつかめない。
そのうちにガロア理論は「群論」と「体論」の組み合わせということに気づいた。
つまりどちらもある程度理解していれば、それを土台にしてガロア理論も理解できるのではないだろうか。
ってそもそも本文中に「ガロア理論は群論と体論の架け橋」みたいな記述もあった。

というように考えて、まずは「群論」から取り掛かってみようと思った。
「群論」を学ぶだけでもいいけれど、もしガロア理論まで行きたいのであれば、

群論（Group theory）
体論（Field theory）
ガロア理論（Galois theory）

という順で学びたいと思う。
とはいえ「ガロア理論はすぐには理解できなさそうだ」とか「群論やって体論やれば理解できるかもしれない」という展望を数学ガールには与えてもらった。

参考動画：What is Abstract Algebra?

2018-04-30

Galois Theory

$n$ 次方程式が代数的に解けるとは

体

方程式の体 $K_0$ をどんどん拡大して、すべての根を含む体 $K_n$ にできること。

　 $K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_{n-1} \subseteq K_n$ （体の塔）

群

方程式の群 $G_n$ をどんどん縮小して、単位群 $G_0$ にできること。

　 $G_n \geqslant G_{n-1} \geqslant \cdots \geqslant G_1 \geqslant G_0$ （群の塔）

2018-04-28

因数分解 3乗3文字その2

なぜ以下の恒等式が成り立つのか。

$a ^3+b ^3+c ^3-3abc$

$=(a+b+c)(a ^2+b ^2+c ^2-ab-bc-ca)$

3次方程式の解と係数の関係を使った導出が、いちばん意味ありそうだけれど。

https://buchi314.hateblo.jp/entry/2018/04/23/022612

2018-04-25

オイラーの公式（指数の底）

問題：オイラーの公式では、なぜ指数関数 $f(x)$ の底が $e$ なのか。

$a ^{iy}=\cos{(y\log{a})}+i\sin{(y\log{a})}$

特に $a=e$ のとき

$e ^{iy}=\cos{(y)}+i\sin{(y)}$

答え：指数関数の底が $a$ のとき、回転するスピードは $\log{a}$ となる。特に $a=e$ とき $1$ となるため。

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2018-04-25

オイラーの公式（指数法則）

1. 複素数と変換
2. 指数法則
3. まとめ
4. 群同型

1. 複素数と変換

複素数 $x+iy=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ は、以下の $2$ 通りに解釈できる。

平面を実軸方向へ $x$ 、虚軸方向へ $y$ だけ平行移動させる数
原点を中心として平面を $r$ 倍に伸縮させ、 $\theta$ だけ回転させる数

2. 指数法則

関数 $f$ について、指数法則 $f(X+Y)=f(X)\times(Y)$ が成り立つとする。

関数 $f$ の入力が複素数 $x+iy$ のとき、 $f(x+iy)=f(x) \times f(iy)$ となる。
$x$ は実数であるから $f(x)$ も実数となる。すなわち原点を中心として平面を「 $f(x)$ 倍に伸縮させる数」である。
$f(x+iy)$ は一般に複素数となるため、平面上の任意の点となる。すなわち原点を中心として平面を「伸縮・回転させる数」である。

以上のことから、 $f(iy)$ は原点を中心として平面を「 $f(iy)$ だけ回転させる数」であることが分かる。

3. まとめ

問題：指数法則が成り立つ関数 $f$ について、 $f(x+iy)$ はどのような数か。

指数法則より、 $f(x+iy)=f(x) \times f(iy)$ である。
$f(x+iy)$ は、原点を中心として平面を「伸縮・回転させる数」である。
$f(x)$ は、原点を中心として平面を「 $f(x)$ 倍に伸縮させる数」である。

以上 $3$ 点より、 $f(iy)$ は原点を中心として平面を「 $f(iy)$ だけ回転させる数」である。

答え： $f(x+iy)$ は、原点を中心として平面を「 $f(x)$ 倍に伸縮させ、 $f(iy)$ だけ回転させる数」である。

4. 群同型

たし算（ $+$ ）とかけ算（ $\times$ ）を同じ種類の演算（ $\circ$ ）と考えると、指数関数は「演算を保存する」と考えられる。

$f(X \circ Y)=f(X) \circ f(Y)$

または

$X \circ Y = Z$ のとき、 $f(X) \circ f(Y) = f(Z)$

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2018-04-25

平行移動、伸縮と回転

仮定と結論

仮定

指数法則 $f(x+y)=f(x)f(y)$ を満たす
$x$ が実数ならば、 $f(x)$ は実数
実数のかけ算は伸縮
平行移動 $x+iy$ は伸縮と回転 $r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$

結論

$f(iy)$ は回転

説明

複素数の指数関数 $f(x+iy)$ を考える。
指数法則が成り立つことより $f(x+iy)=f(x)f(iy)$ となる。

・ $f(x)$ について

$x$ が実数なので、 $f(x)$ は実数となる。
よって $f(x)$ は、複素平面を伸縮させる。

・ $x+iy$ について

複素数 $x+iy$ は、複素平面を平行移動させる。
また $r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ とも考えられるので、複素平面を伸縮・回転させる。

・ $f(x+iy)$ について

平行移動は伸縮・回転とも考えられるので、関数の値も同じになる。

・ $f(iy)$ について

$f(x+iy)$ は伸縮と回転、 $f(iy)$ は伸縮と考えられるので、 $f(iy)$ は回転と考えられる。

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2018-04-25

複素の指数関数

1. 実数と伸縮
2. 複素数と伸縮
3. 複素数と平行移動
4. 複素数と回転
5. まとめ

1. 実数と伸縮

実数の指数関数は $f(x+y)=f(x)f(y)$ の関係を満たしているのが特徴だ。
言葉でいうと「足してから入力しても、入力してから掛けても同じ」というような感じだ。
また、図形的には、実数の指数関数は数直線を「伸縮させる」。
たとえば、 $2$ を入力したら数直線を伸ばし、 $0$ を入力したら何もせず、 $-3$ を入力したら縮める。
つまりポイントは以下になる。

足して入力 $=$ 入力して掛ける
数直線を伸縮させる

2. 複素数と伸縮

入力を実数から複素数へ拡張してみよう。
ここでも $f(x+y)=f(x)f(y)$ の関係を満たすようにする。
複素数は $x+iy$ と表せるので、 $f(x+iy)=f(x)f(iy)$ となる。
でも複素数とはいえ、 $x$ や $y$ は実数だ。
そのため「入力して掛ける」の $f(x)$ のところは、実数の指数関数になっている。
ということは、やはり数直線を「伸縮させる」。
ただし実数のときと違って、複素数のときは複素平面が相手だ。
そこで、複素平面を「伸縮させる」ことにする。

では「入力して掛ける」の $f(iy)$ のところはどうだろう。
これは複素数へ拡張したために、出てきたものだ。

3. 複素数と平行移動

ところで指数関数は複素平面を「伸縮させる」と書いたけれど、入力する複素数は何をするのだろう。
入力する複素数が実数のときは複素平面を実軸方向に「平行移動させ」、純虚数のときは虚軸方向に「平行移動させる」。
そして一般の複素数のときは任意の方向に「平行移動させる」。

一方、同じ複素数による「平行移動」でも、「伸縮」と「回転」に分解することもできる。
たとえば $\sqrt{3}+1i$ は、実軸へ $+\sqrt{3}$ 、虚軸へ $+1$ の「平行移動」と考えられるし、 $2$ の「伸縮」と $\theta=30 ^\circ$ の「回転」と考えることもできる。
つまり同じ複素数は「平行移動」とも「伸縮＆回転」とも考えられるのだ。

4. 複素数と回転

以上のことをふまえて、再度 $f(x)f(iy)$ を見てみる。
さっき述べたように $f(x)$ は複素平面を「伸縮させる」のだった。
では $f(iy)$ は複素平面をどうするのだろう。
そう、複素平面を「回転させる」のだ。
このとき「伸縮」はもうしない。
つまり、点 $(1,0)$ を単位円上に動かす純粋な回転だ。まとめると以下になる。

足して入力 $=$ 入力して掛ける
$f(x)$ は複素平面を「伸縮」させ、 $f(iy)$ は「回転」させる。

$f(x+iy)=f(x)f(iy)$ を言葉でいうと「平行移動してから入力しても、伸縮させて回転させても同じ」となる。

5. まとめ

・・・と、ここまでたどり着いたものはいいものの、これはどういうことなのだろう。
それは $e ^{x+iy}$ を考えてみると分かる。
指数関数なので $e ^{x+iy}=e ^x e^{iy}$ となり、 $e ^x$ は計算できて「伸縮」を表す。
でも $e ^{iy}$ はどうがんばっても意味が分からない。
ここでさっき考えたことが役に立つ。
$e ^{iy}$ は「回転」を表すのだった。

あと残る疑問は $e ^{iy}$ は一体、複素平面を「どれだけ」回転させるのかということになる。

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2018-04-24

オイラーの等式

オイラーの等式とは

オイラーの公式

　　 $e ^{\theta i}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

が成り立つ。特に $x=\pi$ のとき、オイラーの等式

　　 $e ^{\pi i }=-1$

が成り立つ。

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オイラーの公式の数学的な証明

指数関数 $e ^{ix}$ をべき級数展開すると

　　 $\displaystyle e ^{ix}=1+ix+\frac{(ix) ^2}{2!}+\frac{(ix) ^3}{3!}+\frac{(ix) ^4}{4!}+\frac{(ix) ^5}{5!}+\frac{(ix) ^6}{6!}+\frac{(ix) ^7}{7!}+\cdots$

ここで $i ^2=-1$ より

　　 $\displaystyle e ^{ix}=1+ix-\frac{x ^2}{2!}-i\frac{x ^3}{3!}+\frac{x ^4}{4!}+i\frac{x ^5}{5!}-\frac{x ^6}{6!}-i\frac{x ^7}{7!}+\cdots$

さらに、実部と虚部に分けると

　　 $\displaystyle e ^{ix}=\left( 1-\frac{x ^2}{2!}+\frac{x ^4}{4!}-\frac{x ^6}{6!}+\cdots \right)+i\left( \frac{x ^3}{3!}-\frac{x ^5}{5!}+\frac{x ^7}{7!}-\cdots \right)$